층 코호몰로지

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대역 단면 함자와 유도 함자
- 2.2. 층의 전사성과 단면의 관계
3. 체흐 코호몰로지
4. 특이 코호몰로지와의 관계
5. 함자성
6. 특수 층
7. 상대 코호몰로지
8. 콤팩트 지지 코호몰로지
9. 컵 곱
10. 층 복합체
11. 푸앵카레 쌍대성 및 일반화
12. 고차 직상 층과 르레이 스펙트럼 열
13. 코호몰로지의 유한성
14. 가환층의 코호몰로지
15. 사이트 위의 층
16. 오일러 지표
참조

1. 개요

층 코호몰로지는 위상 공간 위에 정의된 층의 대역 단면 함자의 오른쪽 유도 함자를 통해 정의되는 코호몰로지 이론이다. 그로텐디크의 정의는 호몰로지 대수를 사용하여 층 코호몰로지를 정의하며, 층의 전사성과 단면의 관계를 밝히는 데 중요한 역할을 한다. 층 코호몰로지는 체흐 코호몰로지, 특이 코호몰로지, 콤팩트 지지 코호몰로지 등 다양한 코호몰로지 이론과 연결되며, 컵 곱, 푸앵카레 쌍대성, 베르디에 쌍대성, 르레이 스펙트럼 열과 같은 중요한 개념을 포함한다. 또한, 가환층의 코호몰로지, 사이트 위의 층, 오일러 지표와 같은 다양한 응용 분야를 가지며, 대수 기하학에서 핵심적인 역할을 수행한다.

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층은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시켜 국소적 데이터를 전역적으로 다루는 구조로, 준층, 분리 준층, 층의 세 단계로 정의되며, 대역적 데이터가 국소적 데이터로부터 결정되고 국소적 데이터를 이어붙이는 조건까지 갖춘 수학적 도구이다.

층 코호몰로지
개요
분야	대수적 위상수학
하위 분야	위상수학
언어	영어
상세 정보
관련 개념	코호몰로지 층 (수학) 유도 함자
역사적 맥락	위상수학
중요성	층을 사용하여 위상 공간의 위상적 성질을 연구하는 데 중요한 도구이다.
응용 분야	대수기하학 정수론 미분기하학
추가 정보
일반화	에탈 코호몰로지
관련 항목	드람 코호몰로지

2. 정의

층 코호몰로지는 주어진 위상 공간 위의 층에 대하여, 대역 단면 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의된다.

위상 공간 ''X'' 위의 아벨 군의 층 범주는 아벨 범주이므로, 층의 사상 ''f'': ''B'' → ''C''가 단사(단사 사상)인지 또는 전사(전사 사상)인지 묻는 것이 의미가 있다. ''f''가 단사라는 것은 ''X''의 모든 열린 집합 ''U''에 대해 ''U'' 위의 단면의 준동형 ''B''(''U'') → ''C''(''U'')가 단사일 때와 같다. 하지만 전사성은 더 미묘하다.

층의 전사 ''B'' → ''C''와 ''X'' 위의 ''C''의 단면 ''s''가 주어졌을 때, 층 코호몰로지는 ''s''가 ''X'' 위의 ''B''의 단면의 이미지인지에 대한 질문에 답을 제공한다. 이는 국소 대역 질문에 대한 모델이며, 층 코호몰로지는 이에 대한 일반적인 답을 제공한다. 전사 ''B'' → ''C''의 핵을 ''A''라고 하면, 다음을 얻는다.

: $0\to A\to B\to C\to 0$

이는 ''X'' 위의 층의 짧은 완전열이다. 그러면 층 코호몰로지 군이라고 하는 아벨 군의 긴 완전열이 있다.

: $0\to H^0(X,A) \to H^0(X,B) \to H^0(X,C) \to H^1(X,A) \to \cdots,$

여기서 ''H''⁰(''X'',''A'')는 ''X'' 위의 ''A''의 전역 단면의 군 ''A''(''X'')이다. 예를 들어, 군 ''H''¹(''X'',''A'')가 0이면, 이 완전열은 ''C''의 모든 전역 단면이 ''B''의 전역 단면으로 들어올려진다는 것을 의미한다.

위상 공간 $X$ 위의 층 $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ 의 짧은 완전 순열은 다음과 같다.

: $0\ \rightarrow\mathcal{A}\ \stackrel{\varphi}{\rightarrow}\ \mathcal{B}\ \stackrel{\psi}{\rightarrow}\ \mathcal{C}\ \rightarrow\ 0$

이 식이 완전 순열이라는 것은 $\varphi$ 가 단사이고, $\psi$ 가 전사이며, $\operatorname{Im}\varphi=\operatorname{Ker}\psi$ 가 성립하는 것을 의미한다. 이는 $\varphi$ 가 단사이며, $\mathcal{C}\cong\mathcal{B}/\mathcal{A}$ 인 것과 동치이다. 이 짧은 완전 순열로부터, 층의 단면의 순열이 유도된다.

: $0\ \rightarrow\ \Gamma(X, \mathcal{A})\ \stackrel{\varphi_*}{\rightarrow}\ \Gamma(X, \mathcal{B})\ \stackrel{\psi_*}{\rightarrow}\ \Gamma(X, \mathcal{C})$

하지만, 일반적으로 $\psi_*$ 가 전사라고는 할 수 없다. 이 순열의 오른쪽에 어떤 순열을 보완하면 긴 완전 순열이 만들어지는가 하는 것이 층 코호몰로지의 동기 중 하나이다. 대표적인 예로 쿠잔 문제가 있다.

유도 함자의 정의는 임의의 위상 공간 ''X'' 위의 아벨 군의 층 범주가 충분히 주입적인 것을 사용한다.^[2] 즉, 모든 층 ''E''에 대해 주입 ''E'' → ''I''를 갖는 주입층 ''I''가 있다. 따라서 모든 층 ''E''는 주입 분해를 갖는다.

: $0\to E\to I_0\to I_1\to I_2\to \cdots.$

그러면 층 코호몰로지 군 ''H''^''i''(''X'',''E'')는 아벨 군의 사슬 복합체의 코호몰로지 군(하나의 준동형의 핵 모듈로 이전의 준동형의 이미지)이다.

: $0\to I_0(X) \to I_1(X) \to I_2(X)\to \cdots.$

이 정의는 층 코호몰로지를 계산하는 데 직접적으로 사용되는 경우는 드물지만, 매우 일반적인 상황에서 작동하고 층 코호몰로지의 형식적인 속성을 쉽게 함축하기 때문에 강력하다.

2. 1. 대역 단면 함자와 유도 함자

위상 공간

X

위의 아벨 군 값을 갖는 층

\mathcal{F}

에 대해, '''대역 단면'''(global section^영어) 함자는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

\Gamma_X\colon\mathcal F\mapsto\mathcal F(X)

이는

X

위의 층들의 범주

\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})

로부터 아벨 군의 범주

\operatorname{Ab}

로 가는 함자이며, 왼쪽 완전 함자이다. 범주

\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})

에서는 단사 대상으로의 분해가 항상 존재하므로,

\Gamma_X

의 오른쪽 유도 함자

R^i\Gamma_X

를 정의할 수 있다. '''층 코호몰로지'''

H^i(X,\mathcal F)

는 이 유도 함자들로 정의된다. 즉,

:

H^i(X,\mathcal F)=R^i\Gamma_X(\mathcal F)

이다.

그로텐디크는 대역 절단

:

\Gamma_X: \mathcal F \mapsto \mathcal F(X)

의 유도 함자로서, 층

\mathcal F

에 계수를 가진 위상 공간 ''X''의 층 코호몰로지를 정의했다.

이 함자는 완전 함자가 아니며, 좌 완전 순열이다. 따라서 오른쪽 유도 함자의 계열

:

H^i(X, \mathcal F)\quad( i \geq 0)

을 갖는다.

유도 함자는 임의의 비순환적인^[33] 분해에 함자를 적용하고, 복합체의 코호몰로지를 보존함으로써 계산 가능하다. 구체적인 상황과 관계없이, 세밀층, 연약층, 비순환층이 코호몰로지 군의 구체적 계산에 사용된다.

2. 2. 층의 전사성과 단면의 관계

층의 사상

f: B \to C

가 전사(전사 사상)인지 단사(단사 사상)인지는 줄기에서의 사상을 통해 확인할 수 있다.

f

가 단사인 것은 모든 점

x \in X

에 대해 줄기에서 정의된 사상

B_x \to C_x

가 단사 함수인 것과 동치이다. 마찬가지로,

f

가 전사인 것은 모든 점

x \in X

에 대해 줄기에서의 사상

B_x \to C_x

가 전사 함수인 것과 동치이다.

전사인 경우, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 통해

C

의 단면이

B

의 단면으로 국소적으로 들어올려지는지를 확인할 수 있다.^[2] 즉,

X

의 모든 열린집합

U

와

U

위의

C

의 모든 단면

s

, 그리고

U

의 모든 점

x

에 대해,

x

를 포함하는

U

의 열린 근방

V

가 존재하여

V

로 제한된

s

가

V

위의

B

의 어떤 단면의 이미지일 때

f

는 전사이다.

그로텐디크는 층 코호몰로지를 함자로 간주하고, 주입층을 이용한 주입 분해를 통해 긴 완전열을 유도하는 표준적인 정의를 제시하였다.^[2]

3. 체흐 코호몰로지

체흐 코호몰로지는 층 코호몰로지를 계산하는 데 유용한 방법이다. $\mathcal{U}$ 를 위상 공간 ''X''의 열린 덮개라 하고, ''E''를 ''X'' 위의 아벨 군의 층이라고 하자. 덮개에 속하는 열린 집합을 집합 ''I''의 원소 ''i''에 대해 ''U''_''i''로 쓰고, ''I''의 순서를 정한다. 그러면 체흐 코호몰로지 $H^j(\mathcal{U},E)$ 는 ''j''번째 군이 다음과 같은 아벨 군의 복합체의 코호몰로지로 정의된다.

: $C^j(\mathcal{U},E)=\prod_{i_0<\cdots$

체흐 코호몰로지에서 층 코호몰로지로 가는 자연스러운 준동형 사상 $H^j(\mathcal{U},E)\to H^j(X,E)$ 가 있다. 따라서 체흐 코호몰로지는 열린 집합 ''U''_''i''의 유한 교집합에 대한 ''E''의 단면만을 사용하여 층 코호몰로지를 근사한다.

만약 $\mathcal{U}$ 의 열린 집합들의 모든 유한 교집합 ''V''가 ''E''를 계수로 하는 더 높은 코호몰로지를 갖지 않는다면, 즉 모든 ''j'' > 0에 대해 ''H''^''j''(''V'',''E'') = 0이면, 체흐 코호몰로지 $H^j(\mathcal{U},E)$ 에서 층 코호몰로지로의 준동형 사상은 동형 사상이다.^[14]

체흐 코호몰로지를 층 코호몰로지와 관련시키는 또 다른 방법은 다음과 같다. '''체흐 코호몰로지 군''' $\check{H}^j(X,E)$ 는 ''X''의 모든 열린 덮개 $\mathcal{U}$ 에 대한 $H^j(\mathcal{U},E)$ 의 직접 극한으로 정의된다(여기서 열린 덮개는 세분에 의해 정렬된다). 체흐 코호몰로지에서 층 코호몰로지로의 준동형 사상 $\check{H}^j(X,E)\to H^j(X,E)$ 가 존재하며, 이는 ''j'' ≤ 1에 대해 동형 사상이다. 임의의 위상 공간에 대해 체흐 코호몰로지는 더 높은 차수에서 층 코호몰로지와 다를 수 있다. 그러나 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 모든 층에 대해 체흐 코호몰로지는 층 코호몰로지와 동형이다.^[15]

동형 사상 $\check{H}^1(X,E)\cong H^1(X,E)$ 는 위상 공간 ''X'' 위의 모든 아벨 군의 층 ''E''에 대해 ''H''¹(''X'',''E'')의 설명을 보여준다. 이 군은 ''X'' 위의 ''E''-토르소( 주 ''E''-다발이라고도 함)를 동형 사상까지 분류한다. (이 명제는 비아벨 코호몰로지 집합 ''H''¹(''X'',''G'')을 사용하여 반드시 아벨일 필요는 없는 모든 군의 층 ''G''로 일반화된다.) ''X'' 위의 ''E''-토르소는 ''X'' 위의 ''E''의 작용과 함께 집합의 층 ''S''이며, ''X''의 모든 점은 ''S''가 ''E''와 동형인 열린 근방을 가지며, ''E''는 자기 자신에 작용한다. 예를 들어, 환 달린 공간(''X'',''O''_''X'')에서 ''X'' 위의 가역 층의 피카르 군은 층 코호몰로지 군 ''H''¹(''X'',''O''_''X''*)와 동형이며, 여기서 ''O''_''X''*는 ''O''_''X''의 단위의 층이다.

4. 특이 코호몰로지와의 관계

국소 축약 가능 공간에서, 임의의 아벨 군 $G$ 에 대한 상수층 $\underline{G}$ 의 층 코호몰로지 $H^i(X,\underline{G})$ 는 $G$ 계수를 가진 특이 코호몰로지 $H^i(X,G)$ 와 동형이다.^[34] 위상 다양체나 CW 복합체에서 이것이 성립한다.^[6]

하지만, 칸토어 집합과 같이 특이 코호몰로지와 층 코호몰로지가 다른 경우도 있다.^[5] 예를 들어 칸토어 집합 $X$ 에 대해, 층 코호몰로지 $H^0(X,\underline{\mathbb{Z}})$ 는 가산 아벨 군인 반면, 특이 코호몰로지 $H^0(X,\mathbb{Z})$ 는 기수 $2^{2^{\aleph_0}}$ 를 갖는 비가산 집합이다.

5. 함자성

임의의 연속 함수 $f: X \to Y$ 와 아벨 군의 임의의 층 ''E''에 대해, 다음의 '''당김 준동형 사상'''이 존재한다.

: $f^*\colon H^j(Y,E) \to H^j(X,f^*(E))$

여기서 모든 정수 ''j''에 대해, $f^*(E)$ 는 역상 층 또는 '''당김 층'''을 나타낸다.^[3] 만약 $f$ 가 ''Y''의 부분 공간 ''X''의 포함 사상이라면, $f^*(E)$ 는 ''X''에 대한 ''E''의 '''제한'''이며, 종종 단순히 ''E''라고 불리며, ''Y''에서 ''X''로의 단면 ''s''의 당김은 제한 $s|_X$ 라고 불린다.

당김 준동형 사상은 중요한 계산 결과인 마이어-비토리스 열에 사용된다. 즉, ''X''가 두 개의 열린 부분 집합 ''U''와 ''V''의 합집합인 위상 공간이고, ''E''가 ''X'' 위의 층이라고 하자. 그러면 다음과 같은 아벨 군의 긴 완전열이 존재한다.^[4]

: $0\to H^0(X,E) \to H^0(U,E)\oplus H^0(V,E) \to H^0(U\cap V, E) \to H^1(X,E) \to \cdots.$

6. 특수 층

위상 공간 ''X'' 위의 층 ''E''가 ''X''의 열린 부분 집합에서의 ''E''의 모든 단면이 ''X'' 전체에서의 ''E''의 단면으로 확장되면 '''플래비 층'''(flabby sheaf, flasque|플라스크^프랑스어)이라고 한다. 플래비 층은 비순환적이다.^[9] 고드망은 모든 층의 표준 플래비 분해를 통해 층 코호몰로지를 정의했는데, 플래비 층은 비순환적이므로 고드망의 정의는 층 코호몰로지의 정의와 일치한다.^[10]

파라콤팩트 하우스도르프 공간 ''X'' 위의 층 ''E''가 ''X''의 닫힌 집합에 대한 ''E'' 제한의 모든 단면이 ''X'' 전체에서의 ''E''의 단면으로 확장되면 '''연성층'''(soft sheaf)이라고 한다. 모든 연성층은 비순환적이다.^[11]

연성층의 예로는 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간 위의 실수 값을 갖는 연속 함수의 층, 또는 모든 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 함수(''C''^∞)의 층이 있다.^[12] 일반적으로, 연성 가환환의 층 위의 모든 가군 층은 연성층이다. 예를 들어, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발의 매끄러운 단면의 층은 연성층이다.^[13]

이러한 결과는 드 람 정리 증명의 일부를 구성한다. 매끄러운 다양체 ''X''에 대해, 푸앵카레 보조정리는 드 람 복합체가 상수 층 '''R'''_''X''의 분해라고 말한다.

: $0\to\mathbf{R}_X\to\Omega^0_X\to\Omega^1_X\to\cdots,$

여기서 Ω_''X''^''j''는 매끄러운 ''j''-형식의 층이고 사상 Ω_''X''^''j'' → Ω_''X''^''j''+1는 외미분 ''d''이다. 층 Ω_''X''^''j''는 연성층이므로 비순환적이다. 따라서 실수 계수를 갖는 ''X''의 층 코호몰로지는 실수 벡터 공간의 복합체의 코호몰로지로 정의된 ''X''의 드 람 코호몰로지와 동형이다.

: $0\to \Omega^0_X(X)\to\Omega^1_X(X)\to\cdots.$

7. 상대 코호몰로지

위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''Y''와 ''X'' 위의 아벨 군의 층 ''E''에 대해, 다음과 같은 '''상대 코호몰로지''' 군을 정의할 수 있다.^[16]

:H^j_Y(X,E)^영어 = H^j(X,X-Y;E)^영어

여기서 ''j''는 정수이다. 다른 이름으로는 ''Y''에서 '''지지를 받는''' ''X''의 코호몰로지, 또는 (''Y''가 ''X''에서 닫힌 집합인 경우) '''국소 코호몰로지'''라고도 한다. 긴 완전열은 상대 코호몰로지를 일반적인 의미의 층 코호몰로지와 관련시킨다.

:⋯ → H^j_Y(X,E) → H^j(X,E) → H^j(X-Y,E) → H^j+1_Y(X,E) → ⋯^영어

''Y''가 ''X''에서 닫힌 집합일 때, ''Y''에서 지지를 받는 코호몰로지는 다음과 같은 함자의 도출된 함자로 정의될 수 있다.

:H⁰_Y(X,E)^영어 := {s∈E(X): s|_X-Y=0^영어}

이는 ''Y''에서 지지되는 ''E''의 단면들의 군이다.

'''절단 정리'''라고 알려진 몇 가지 동형 사상이 있다. 예를 들어, ''X''가 부분 공간 ''Y''와 ''U''를 가지고, ''Y''의 폐포가 ''U''의 내부에 포함되며, ''E''가 ''X'' 위의 층일 때, 제한

:H^j_Y(X,E) → H^j_Y(U,E)^영어

은 동형 사상이다.^[17] (따라서 닫힌 부분 집합 ''Y''에서 지지를 받는 코호몰로지는 ''Y'' 근처에서 공간 ''X''와 층 ''E''의 거동에만 의존한다.) 또한, ''X''가 닫힌 부분 집합 ''A''와 ''B''의 합집합이고, ''E''가 ''X'' 위의 층인 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 제한

:H^j(X,B;E) → H^j(A,A∩B;E)^영어

은 동형 사상이다.^[18]

8. 콤팩트 지지 코호몰로지

국소 콤팩트 공간 ''X'' 위의 아벨 군의 층 ''E''에 대해, '''콤팩트 지지 코호몰로지''' ''H''_c^''j''(''X'',''E'')는 콤팩트 지지 단면의 함자의 도함수 함자로 정의된다.^[19]

: $H^0_c(X,E)=\{s\in E(X): \text{ there is a compact subset }K\text{ of }X\text{ with }s|_{X-K}=0\}.$

자연스러운 준동형사상 ''H''_c^''j''(''X'',''E'') → ''H''^''j''(''X'',''E'')가 있으며, 이는 ''X''가 콤팩트 공간일 때 동형사상이 된다.

국소 콤팩트 공간 ''X'' 위의 층 ''E''에 대해, ''E''의 당김에 대한 계수를 갖는 ''X'' × '''R'''의 콤팩트 지지 코호몰로지는 ''X''의 콤팩트 지지 코호몰로지의 이동이다.^[20]

: $H^{j+1}_c(X\times\mathbf{R},E)\cong H^j_c(X,E).$

예를 들어, ''H''_''c''^''j''('''R'''^''n'','''Z''')는 ''j'' = ''n''일 때 '''Z'''와 동형이고, 그 외에는 0이다.

콤팩트 지지 코호몰로지는 임의의 연속 사상에 대해 함자적이지 않다. 그러나 국소 콤팩트 공간의 고유 사상 ''f'': ''Y'' → ''X''와 ''X'' 위의 층 ''E''에 대해, 콤팩트 지지 코호몰로지에 대한 당김 준동형사상이 존재한다.

: $f^*\colon H^j_c(X,E)\to H^j_c(Y,f^*(E))$

또한, 국소 콤팩트 공간 ''X''의 열린 부분 집합 ''U''와 ''X'' 위의 층 ''E''에 대해, '''영으로 확장'''으로 알려진 밀기 준동형사상이 존재한다.^[21]

: $H^j_c(U,E)\to H^j_c(X,E).$

두 준동형사상 모두 국소 콤팩트 공간 ''X''와 닫힌 부분 집합 ''Y''에 대한 콤팩트 지지 코호몰로지에 대한 긴 완전 '''국소화 수열'''에 나타난다.^[22]

: $\cdots\to H^j_c(X-Y,E)\to H^j_c(X,E)\to H^j_c(Y,E)\to H^{j+1}_c(X-Y,E)\to\cdots.$

9. 컵 곱

위상 공간 ''X'' 위의 아벨 군의 층 ''A''와 ''B''에 대해, 쌍선형 사상인 '''컵 곱'''이 존재한다.

: $H^i(X,A) \times H^j(X,B) \to H^{i+j}(X, A \otimes B)$

모든 ''i''와 ''j''에 대해 성립한다.^[23] 여기서 ''A''⊗''B''는 '''Z''' 위의 텐서 곱을 나타내지만, 만약 ''A''와 ''B''가 가환환의 층인 어떤 층 ''O''_''X'' 위의 가군 층이라면, ''H''^''i''+''j''(X, ''A''⊗_'''Z'''''B'')에서 ''H''^''i''+''j''(X, ''A''⊗_{''O''_''X''}''B'')로의 사상이 더 가능하다. 특히, 가환환의 층인 ''O''_''X''에 대해 컵 곱은 직합

: $H^*(X, O_X) = \bigoplus_j H^j(X, O_X)$

을 등급 가환환으로 만들어 주는데, 이는

: $vu = (-1)^{ij}uv$

모든 ''H''^''i''의 ''u''와 ''H''^''j''의 ''v''에 대해 성립함을 의미한다.^[24]

10. 층 복합체

층 코호몰로지는 층의 복합체 ''E''로 확장될 수 있다.

: $\cdots\to E_j\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots$

특히, 복합체 ''E''가 아래로 유계인 경우(층 ''E''_''j''가 충분히 음수인 ''j''에 대해 0인 경우), ''E''는 단일 층과 마찬가지로 '''주입 해상''' ''I''를 갖는다. (정의에 따르면, ''I''는 준 동형 사상인 사슬 사상 ''E'' → ''I''를 가진 주입 층의 아래로 유계인 복합체이다.) 그러면 코호몰로지 군 ''H''^''j''(''X'',''E'')는 아벨 군의 복합체의 코호몰로지로 정의된다.

: $\cdots \to I_j(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to\cdots.$

층 복합체를 계수로 하는 공간의 코호몰로지는 이전에는 초코호몰로지라고 불렸지만, 일반적으로는 "코호몰로지"라고 불린다.

더 일반적으로, 공간 ''X''에 대한 임의의 층 복합체 ''E''(아래로 유계일 필요는 없음)에 대해 코호몰로지 군 ''H''^''j''(''X'',''E'')는 ''X''에 대한 층의 유도 범주에서 사상의 군으로 정의된다.

: $H^j(X,E)=\operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbf{Z}_X,E[j]),$

여기서 '''Z'''_''X''는 정수에 관련된 상수 층을 의미하고, ''E''[''j'']는 복합체 ''E''를 ''j'' 단계 왼쪽으로 이동시켰다는 것을 의미한다.

11. 푸앵카레 쌍대성 및 일반화

푸앵카레 쌍대성 정리는 위상수학의 핵심적인 결과이다. 이 정리에 따르면, 차원이 ''n''이고 닫힌 가향 연결된 위상 다양체 ''X''와 체 ''k''에 대해, 군 ''H''^''n''(''X'',''k'')는 ''k''와 동형이며, 모든 정수 ''j''에 대해 컵곱은 완전 쌍대이다. 즉, ''H''^''j''(''X'',''k'')에서 쌍대 공간 ''H''^{''n''−''j''}(''X'',''k'')*로의 맵은 동형사상이다.^[25] 특히, 벡터 공간 ''H''^''j''(''X'',''k'')와 ''H''^{''n''−''j''}(''X'',''k'')*는 동일한 (유한한) 차원을 갖는다.

층 코호몰로지 언어를 사용하면 푸앵카레 쌍대성을 다양하게 일반화할 수 있다. 예를 들어, ''X''가 가향 ''n''-다양체이고 (반드시 콤팩트하거나 연결되어 있지 않아도 됨) ''k''가 체인 경우, 코호몰로지는 콤팩트 지지 코호몰로지의 쌍대와 동형이다.

베르디에 쌍대성은 푸앵카레 쌍대성을 광범위하게 일반화한 것이다. 유한 차원의 모든 국소 콤팩트 공간 ''X''와 모든 체 ''k''에 대해, 쌍대화 복합체 ''D''_''X''가 존재하며, 베르디에 쌍대성은 다음과 같은 동형사상으로 나타낼 수 있다.^[26]

: $H^j(X,D_X)\cong H^{-j}_c(X,k)^*.$

''n''-다양체 ''X''에 대해, 쌍대화 복합체 ''D''_''X''는 가향 층의 이동 ''o''_''X''[''n'']과 동형이므로, 베르디에 쌍대성은 푸앵카레 쌍대성을 특수한 경우로 포함한다.

알렉산더 쌍대성은 푸앵카레 쌍대성의 또 다른 유용한 일반화이다. 가향 ''n''-다양체 ''M''의 모든 닫힌 부분 집합 ''X''와 모든 체 ''k''에 대해, 다음과 같은 동형사상이 존재한다.^[27]

: $H^j_X(M,k)\cong H^{n-j}_c(X,k)^*.$

12. 고차 직상 층과 르레이 스펙트럼 열

f^영어: X^영어 → Y^영어를 위상 공간의 연속 사상이라 하고, E^영어를 X^영어 위의 가환군의 층이라고 하자. 고차 직상 층 R^''i''''f''_*''E''는 함자 ''f''_*의 오른쪽 도함 함자로 정의된다. R^''i''''f''_*''E''는 다음과 같은 예비층에 연관된 층이다.^[28]

:

Y^영어 위에서. 따라서, 고차 직상 층은 대략적으로 말해서, Y^영어의 작은 열린 집합의 역상의 코호몰로지를 설명한다.

'''르레이 스펙트럼 열'''은 X^영어에서의 코호몰로지와 Y^영어에서의 코호몰로지를 관련시킨다. 즉, 임의의 연속 사상 f^영어: X^영어 → Y^영어와 X^영어 위의 임의의 층 E^영어에 대해, 다음의 스펙트럼 열이 존재한다.

:

이것은 매우 일반적인 결과이다. f^영어가 피브레이션이고 E^영어가 상수 층인 특수한 경우는 호모토피론에서 세르 스펙트럼 열이라는 이름으로 중요한 역할을 한다. 이 경우, 고차 직상 층은 f^영어의 올 F^영어의 코호몰로기 군을 줄기로 하는 국소적으로 상수이며, 따라서 세르 스펙트럼 열은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

가환군 A^영어에 대해.

13. 코호몰로지의 유한성

''X''를 콤팩트 하우스도르프 공간이라 하고, ''R''을 주 아이디얼 정역이라고 하자. 예를 들어 체 또는 정수환 '''Z'''가 있다. ''E''를 ''X'' 위의 ''R''-가군 층이라 하고, ''E''가 "국소 유한 생성 코호몰로지"를 갖는다고 가정하자. 즉, ''X''의 각 점 ''x'', 각 정수 ''j'', 그리고 ''x''의 각 열린 근방 ''U''에 대해, ''H''^''j''(''U'',''E'') → ''H''^''j''(''V'',''E'')의 상이 유한 생성 ''R''-가군이 되는 ''x''의 열린 근방 ''V'' ⊂ ''U''가 존재한다. 그러면 코호몰로지 군 ''H''^''j''(''X'',''E'')는 유한 생성 ''R''-가군이다.^[30]

예를 들어, 국소적으로 수축 가능한(위에서 상수 계수를 갖는 층 코호몰로지에서 논의된 약한 의미로) 콤팩트 하우스도르프 공간 ''X''에 대해, 층 코호몰로지 군 ''H''^''j''(''X'','''Z'')는 모든 정수 ''j''에 대해 유한 생성된다.

유한성 결과가 적용되는 한 가지 경우는 구성 가능 층이다. ''X''를 위상적 층화 공간이라고 하자. 특히, ''X''에는 다음과 같은 닫힌 부분 집합의 수열이 주어진다.

: $X=X_n\supset X_{n-1}\supset\cdots\supset X_{-1}=\emptyset$

각 차이 ''X''_''i''−''X''_''i''−1이 차원 ''i''의 위상 다양체인 경우이다. ''X'' 위의 ''R''-가군 층 ''E''는 주어진 층화에 대해 '''구성 가능'''한데, 이는 각 층 ''X''_''i''−''X''_''i''−1에 대한 ''E''의 제한이 국소 상수이고, 줄기가 유한 생성 ''R''-가군인 경우이다. 주어진 층화에 대해 구성 가능한 ''X'' 위의 층 ''E''는 국소적으로 유한 생성 코호몰로지를 갖는다.^[31] 만약 ''X''가 콤팩트라면, 구성 가능 층을 계수로 하는 ''X''의 코호몰로지 군 ''H''^''j''(''X'',''E'')는 유한 생성된다.

더 일반적으로, ''X''가 콤팩트화 가능하다고 가정하자. 즉, ''X''를 열린 부분 집합으로 포함하는 콤팩트 층화 공간 ''W''가 존재하고, ''W''–''X''가 층의 연결 성분의 합집합인 경우이다. 그러면, ''X'' 위의 구성 가능 층 ''E''에 대해, ''R''-가군 ''H''^''j''(''X'',''E'') 및 ''H''_''c''^''j''(''X'',''E'')는 유한 생성된다.^[32] 예를 들어, 모든 복소 대수다양체 ''X''는 고전적(유클리드) 위상으로 이 의미에서 콤팩트화 가능하다.

14. 가환층의 코호몰로지

대수기하학과 복소해석기하학에서, 가환층은 특히 기하학적으로 중요한 층의 종류이다. 예를 들어, 대수적 벡터 다발(국소 뇌터 스킴에서) 또는 정칙 벡터 다발(복소해석 공간에서)은 가환층으로 볼 수 있지만, 가환층은 아벨 범주를 형성한다는 점에서 벡터 다발보다 유리하다. 스킴에서는 무한 계수의 국소 자유층을 포함하는 준가환 층을 고려하는 것도 유용하다.

가환층을 계수로 하는 스킴 또는 복소해석 공간의 코호몰로지 군에 대해 많은 것이 알려져 있다. 이 이론은 대수기하학의 핵심적인 기술적 도구이다. 주요 정리에는 다양한 상황에서 코호몰로지의 소멸에 관한 결과, 코호몰로지의 유한 차원에 관한 결과, 호지 이론과 같은 가환층 코호몰로지와 특이 코호몰로지 사이의 비교, 그리고 리만-로크 정리와 같은 가환층 코호몰로지에서 오일러 지표에 관한 공식이 있다.

15. 사이트 위의 층

1960년대에 그로텐디크는 그로텐디크 위상이 갖춰진 범주인 '''사이트'''의 개념을 정의하였다. 사이트 ''C''는 ''C''에서 사상 집합 ''V''_α → ''U''가 ''U''의 ''덮개''라는 개념을 공리화한다. 위상 공간 ''X''는 자연스러운 방식으로 사이트를 결정한다. 범주 ''C''는 ''X''의 열린 부분 집합을 대상으로 가지며, 사상은 포함 관계이고, 사상 집합 ''V''_α → ''U''는 ''U''가 열린 부분 집합 ''V''_α의 합집합인 경우에만 ''U''의 덮개라고 부른다. 그 경우 외에 그로텐디크 위상의 동기 부여 예시는 스킴에 대한 에탈 위상이었다. 그 이후로, fpqc 위상, 니스네비치 위상 등 많은 다른 그로텐디크 위상이 대수 기하학에서 사용되었다.

층의 정의는 모든 사이트에서 작동한다. 따라서 사이트에서 집합의 층, 사이트에서 아벨 군의 층 등에 대해 이야기할 수 있다. 유도 함자로서의 층 코호몰로지의 정의 또한 사이트에서 작동한다. 따라서 사이트의 모든 대상 ''X''와 아벨 군의 모든 층 ''E''에 대해 층 코호몰로지 군 ''H''^''j''(''X'', ''E'')가 존재한다. 에탈 위상의 경우, 이것은 에탈 코호몰로지의 개념을 제공하며, 이는 베유 추측의 증명으로 이어졌다. 결정 코호몰로지와 대수 기하학의 많은 다른 코호몰로지 이론 또한 적절한 사이트에서 층 코호몰로지로 정의된다.

16. 오일러 지표

층 $\mathcal{F}$의 오일러 지표 $\chi(\mathcal{F})$는 다음과 같이 정의된다.

:$\chi(\mathcal{F}) := \textstyle\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}_0^+} (-1)^i \,{\rm rank}\, (H^{i}(X, \mathcal F))$

이 표현은 베티 수의 교대합으로서의 오일러 지표의 일반화이지만, 이 표현이 의미를 가지려면 두 가지 조건이 충족되어야 한다. 첫 번째는, 합의 각 항이 거의 모두 0이어야 한다. 즉, 어떤 N이 존재하여 $i \geq N$에서 코호몰로지가 0이어야 한다. 또한, '''계수'''는 아벨 군의 계수 또는 벡터 공간의 차원과 같이 가군의 이론으로부터 잘 정의된(well-defined) 함수여야 하며, 문제의 코호몰로지 군의 유한한 값으로 나타나야 한다. 따라서, 항의 합의 유한성과 코호몰로지 군의 유한성이라는 두 종류의 유한성 증명이 필요하다.

연접층과 같은 이론에서는 그러한 정리가 있으며, $\chi(F)$의 값은 다른 방식(예를 들어, 힐체브루흐-리만-로흐 정리나 그로텐디크-리만-로흐 정리)으로부터, 개별 항의 계수보다 쉽게 계산할 수 있다. 실질적으로는, $H^0(X,F)$가 가장 흥미를 가지며, 다른 $H^i(X,F)$ 상의 소멸 정리에 의해 계수를 계산하는 한 가지 방법이 있다. 이 방법은 표준적인 '''간접적인''' 층 이론의 방법으로 수치적인 결과를 가져온다.

참조

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_[22] harv
_[23] harv
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_[25] harv
_[26] harv
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_[29] harv
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_[33] 문서 高次コホモロジー群が 0 となるようなコホモロジー
_[34] 서적 Global Calculus

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